\newpage
\section{Apartat F: suma d'ones sinusoïdals amb diferent nombre d'ona}
\vspace{12pt}

Ara veurem el cas en què tenim dues ones sinusoïdals propagant-se en la mateixa direcció i de la mateixa amplitud. No obstant, cadascuna d'elles té un nombre d'ona i freqüència diferents. Les equacions són:
$$
u_1(x, t=0) = \sin(10\pi x / L)	\quad\quad\quad u_2(x, t=0) = \sin(12 \pi x / L)
$$

Hem escollit moure-les cap a la dreta iniciant els vectors de l'instant previ de manera similar a com havíem fet amb $u_1(x, t = -\Delta t)$ de l'apartat anterior. A l'instant inicial, mostren l'aspecte de la figura \ref{fig:onesF}. Fixem-nos també que $L = 5 \lambda_1 = 6 \lambda_2$ i com es veuen les 5 i 6 sinusoïdals completes en cada cas.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{img/onesF.png}
\caption{Les dues sinusoïdals: $u_1$ en blau i $u_2$ en verd.}
\label{fig:onesF}
\end{figure}


Si visualitzem la superposició de totes dues, veiem aquesta ona resultant propagant-se sense variar la forma cap a la dreta:

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{img/sumaF.png}
\caption{Ona resultant de sumar $u_1$ i $u_2$. A la dreta, 3 repeticions de l'ona resultant.}
\label{fig:onaSumaF}
\end{figure}

L'ona resultant es pot interpretat com una modulació en amplitud on una de les dues originals seria el senyal i l'altra la portadora. Veiem també que s'han format polsacions, un fenomen ondulatori que passa quan les freqüències de les ones que sumem són properes. 

La freqüència per a l'amplitud la podem calcular com $| f_1 - f_2 | = |\dfrac{10 \pi - 12 \pi}{2 \pi}| = 1 \, \text{Hz}$. Efectivament, com es veu a la figura \ref{fig:onaSumaF}, en $n$ repeticions de l'interval s'observen $n$ polsacions de la mateixa amplitud.

La freqüència que tenen associades les polsacions és calcula com la mitjana de les dues: $\dfrac{f_1 - f_2}{2} = 5.5 \, \text{Hz}$.